复数概念的本质(复数和虚数的定义和性质)

（小石头来尝试着回答这个问题）

复数出现的原因，大家都知道，是为了让方程：

有解。

为了达成这个目的，我们需要寻找一个新的数字 i，使得 i² = -1 ①，并且 i 还可以参与四则运算（加、减、乘、除）。

显然，这个 i 不是一维直线（记为 ℝ）中的任意实数，于是 将眼光 投入 二维平面（记为 ℝ²）中的某个向量 a = (x, y)。

为了让 a 看起来像是一个数字，从而可以作为 i 的候选者，我们需要让 向量 具有类似数字的四则运算的能力。

在《解析几何》中，已经定义有向量的加法（设，b =(u, v) ∈ ℝ²），

a + b = (x + u, y + v)

然后，利用 向量的数乘（设，λ ∈ ℝ)，

λa = (λx, λy)

可以定义 a 的负数，

-a = (-1)a

而减正就是加负，

a - b = a + (-b)

关于向量的乘法，在《解析几何》中 定义有，

• 点乘（内积）：a⋅b = xu + yv
• 叉乘（外积）：a×b = (xv - uy) k （k 是 垂直于 平面 ℝ² 的 单位法向量）

观察 实数 ℝ 中的乘法，有 a,b ∈ ℝ ⇒ ab ∈ ℝ，这称为运算的封闭性。

而，显然 点乘（结果是实数 ∈ ℝ） 和 叉乘 （结果是三维向量 ∈ ℝ³） 都不具有 封闭性，不能当做向量乘法！

不过，我们可以结合 点乘 和 叉乘，尝试定义向量乘法：

ab = (a⋅b, a×b⋅k) = (xu + yv, xv - uy) ②

这个定义具有封闭性，如果，还能在该定义下，找到 满足要求 ① 的 向量 i，那么我们就可以正式采用这个定义了。

我们不妨将 平面中的 X轴 设为 ℝ，这样 任意 实数 a 就对应 向量 (a, 0)，即，

a = (a, 0)

其中，

-1 = (-1, 0)

另一方面，因为 i 不属于 X轴，所以 可以考虑 让 i 属于 Y轴，于是 i 与 Y轴 中的 某个点 (0, b) 对应，即，

i = (0, b)

使用 乘法定义②，再结合对于 i 的要求 ①，有，

i² = ii = (0, b)(0, b) = (00 + bb, 0b - b0) = (b², 0) = (-1, 0) = -1

显然，还是因为 b² ≠ -1，使得 在 ② 下 没有满足 ① 的 b，于是，我们需要对 定义 ② 进行改进。其实，我们仅仅需要交换 ② 中的 加减号位置，即，

ab = (xu - yv, xv + uy)

就可以，得到：

i² = (00 - bb, 0b + b0) = (-b², 0) = (-1, 0) = -1

这时，由 -b² = -1 ，解的 b = ±1，OK！

不妨设 i = (0, 1) ，于是 我们找到了满足 ① 的 i，这说明，调整后的定义有效，我们把它作为乘法的定义！

若，令 ā = (x, -y) 则，乘法定义为：

ab = (xu - yv, xv + uy) = (xu + (-y)v, xv - u(-y)) = (ā⋅b, ā×b⋅k) ②'

这里 ā 和 a 关于 X 轴对称，称 ā 为 a 的共轭。

注：很容易 从 共轭 得到 a 关于 Y轴的 对称 (-x, y) = -(x, -y) = - ā 。

有了乘法定义，我们就可以定义除为乘以倒数，即：

a/b = ab⁻¹

倒数 a⁻¹ 具有性质：

aa⁻¹ = 1

而，

aā = (x² + y², xy - yx) = (x² + y², 0) = x² + y² = a⋅a

可见，

a⁻¹ = ā/(a⋅a)

到这里，ℝ² 中的 向量 就具有了 四则运算能力，可以当做数字，称为 复数，同时，将 ℝ² 记为 ℂ，称为复平面，X 轴依然称为实轴，其中的点 就是 实数，而把 Y 轴称为 虚轴，其中的点 称为 虚数。

在数学上，ℝ² 也称为欧氏（向量）空间，其中向量本来就具有 加减运算，而 除法是乘法的逆运算，因此，以上 让其 变为 ℂ 的 主要工作是定义乘法，故，我们有，

小结论： 复数的本质就是定义了乘法的欧氏空间 ℝ² 中的向量。

对于 ℂ 中的任意 复数 z = (x, y)，利用前面推导的结论，有，

z = (x, y) = (x + 0, 0 + y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y0, y1) = (x, 0) + y(0, 1) = x + yi

这就是，我们熟悉的 复数一般表示，i 称为 虚单位。其中，x 和 y 分别称为 复数 z 的 实部 和 虚部，有，

x = Re(z) = (z + ż)/2

y = Im(z) = (z - ż)/(2i)

注：其实，1 = (1, 0) 和 i = (0, 1) 是 ℂ = ℝ² 的一组标准正交基，任何 一个 复数 z = (x, y) 都可以线性表示为：

z = x1 + yi = x + iy

这说明，复数一般表示，就是向量的线性表示。

将 复数 z 对应 向量 的长度 称为 复数 的 模，记为 |z| = √(z⋅z) = √(x² + y²) ，将 向量 和 X 轴正方向 的 夹角，称为 辐角，记为 Arg(z)。

若，令，r = |z|, θ = Arg(z) ，则 z 为：

z = r(cos θ, sin θ)= r(cos θ + i sin θ) ③

这就是 复数的 三角表示。

又设， w = s(cos φ + i sin φ) 则，根据《三角学》知识 有，

zw = (r(cos θ + i sin θ) )(s(cos φ + i sin φ) ) = (rs)(cos θ cos φ - sin θ cos φ, i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = (rs)(cos( θ+φ) + isin(θ+φ))

可见，复数乘法的 几何意义是 ④：模相乘，辐角相加。

另一方面，根据《高等数学》迈克劳林公式：

有，

进而，得到 欧拉公式：

再和 ③ 处连等，有，

这就是 复数的 指数表示。

验证，乘法：

依然符合 结论 ④。

于是，我们得到 结论：

复数的本质就是 欧氏空间 ℝ² 中的向量，定义了，模相乘辐角相加，的乘法 从而 升级而成的数字。

复平面 ℂ 本质就是 欧氏空间 ℝ² 中定义了 乘法运算， 实单位 1 = (1, 0) 和 虚数单位 i = (0, 1) 本质是 ℂ 的 标准正交基，复数 z = x + yi 本质就是 向量的线性表示。

最后，回到开头，复数的出现，使得：

（一元）多项式方程，必然存在 一个复根

这就是 代数基本定理。

（这是一个开放性问题，不同的人对复数的本质有不同的理解，数学家会给出非常深奥的答案，而小石头只能在数学的浅滩潦草的勾勒一些浮沙，大家见笑了！各位聪明的条有大家有什么高见呢？）

注：更深奥的答案是存在的，比如，

称 ℂ 为复数域，它是 实数域 ℝ 的 扩域，是 一个代数闭域。

一个负数的平方根。这就是虚数，一个实数和一个虚数在一起的表达就叫复数，一个根本不存在的数，只适用于运算的过程。